Fourierova transformacija. Brze Fourierove transformacije. Diskretna Fourierova transformacija

Fourierova transformacija - preobražaj, povezujući određenu funkciju pravi varijable. Ova operacija se izvodi svaki put mi percipiramo različite zvukove. Uho proizvodi automatski „obračun”, koji bi ispunili naše mogu svijesti tek nakon ispitivanja dijelu više matematike. organ sluha u ljudskom transformacije konstrukata, u kojem je zvuk (konvencionalni vibracijska gibanja čestica u elastični medij koji propagiraju u valnog oblika u krutom, tekućem ili plinovitom mediju) je u rasponu od uzastopnih vrijednosti razine glasnoće tona različitih visina. Nakon toga, mozak pretvara podatke u svom poznatom zvuku.

Video: Brzo Fourier Transform (FFT / FFT) u osciloskop: mit ili stvarnost?

Matematička Fourierova transformacija

Pretvorba zvučnih valova ili drugih vibracija procesima (uz emisije svjetla i ocean plima i zvjezdanih ili solarnih ciklusa) može se izvesti i pomoću matematičkih metoda. Dakle, pomoću ove tehnike, funkcije može biti proširen uvođenjem vibracijska procesa Skup sinusnih komponenata, tj krivulja valovite koje idu od najmanje do najviše i onda opet na minimum, poput vala mora. Fourierove transformacije - Funkcija koja opisuje transformacije faze ili amplitudu svakog sinusoide odgovara određenoj frekvenciji. Faza je polazna točka krivulje i amplitude - svoje visine.

Fourierove transformacije (primjeri su prikazani na slici) je vrlo moćan alat koji se koristi u raznim područjima znanosti. U nekim slučajevima, koristi se kao rješenje, a složene jednadžbe koje opisuju dinamičke procese koji nastaju pod utjecajem svjetlosti, topline ili električne energije. U drugim slučajevima, to vam omogućuje da definiraju redovite komponente u složenim valnih oblika, s obzirom na to može biti istina interpretirati različite eksperimentalne opažanja u kemije, medicine i astronomije.

povijesni podaci

Prva osoba koja je primijeniti ovu metodu je francuski matematičar Jean Baptiste Fourier. Pretvorbe, naknadno nazvana po njemu, izvorno se koristi za opisivanje mehanizam provođenja topline. Fourier cijeli svoj život odrasle osobe koja se bavi proučavanjem svojstava topline. On je napravio ogroman doprinos u matematičku teoriju određivanja korijena algebarskih jednadžbi. Fourier je bio profesor analiza na École Polytechnique, tajnik Instituta egiptologije, bio je carski usluga, što je izazvalo pomutnju u vrijeme gradnje ceste prema Torinu (pod njegovim vodstvom bio iscrpljen od više od 80 tisuća četvornih kilometara malarije močvare). Međutim, sve to aktivizam nije spriječilo znanstvenik bavi matematička analiza. U 1802 je izvedena jednadžba koja opisuje širenje topline u čvrstih tijela. U 1807., znanstvenik otkrio metodu za rješavanje ove jednadžbe, koji je postao poznat kao "Fourierova transformacija",

Analiza toplinska vodljivost

Istraživači su koristili matematičke metode za opis mehanizma provođenja topline. Prikladan primjer, naznačen time, da nema poteškoća u računanju je razmnožavanje toplinske energije željezni prsten, jedan dio uronjen u požaru. Za obavljanje pokusa Fourier Red Hot dio prstena i pokopati ga u fini pijesak. Nakon toga, mjerenja temperature provedena na njegovoj suprotnoj strani. U početku, raspodjela topline je nepravilna: dio prstena - hladno, a drugi - topla, između zone može promatrati nagli temperaturni gradijent. Međutim, tijekom distribucije toplinske energije preko metalne površine, ona postaje jednoličnije. Dakle, uskoro, ovaj proces poprima oblik sinusni val. Prvi graf postupno povećava i smanjuje glatko, pomno zakone varijacije kosinus ili sinus funkcije. Val postupno izjednačene, a kao rezultat toga, temperatura postaje uniformu na cijeloj površini prstena.

Autor ove metode pretpostavlja se da je početna raspodjela je vrlo nepravilna može se rastaviti u nekoliko osnovnih sinusnih valova. Svaki od njih će imati svoje faze (početni položaj) i njegovu maksimalnu temperaturu. Tako svaka takva komponenta mijenja od najmanje do najviše i natrag dovršiti revoluciju oko cijelih prsten puta. Komponenta ima rok koji je nazvan temeljni harmonik, a vrijednost s dva ili više razdoblja - drugi i tako dalje. Na primjer, matematičke funkcije koja opisuje maksimalne temperature, faze ili položaju nazvan Fourierovu transformaciju funkciju distribucije. Znanstvenik je donio jednu komponentu koja je teško matematički opis, jer jednostavno za korištenje alata - reda sinus i kosinus, u iznosu od davanja početnu distribuciju.

Suština analize

Primjenom ove analize prevođenju raspodjelu topline na čvrsti oslonac, imaju prstenasti oblik, matematičar zaključio da povećanje razdoblja sinusnih komponenti dovesti do njegove brzog prigušenja. To se jasno vidi na glavnim i drugog harmonika. Konačna temperatura doseže dvostruko maksimalne i minimalne vrijednosti u jednom proći, a prvi - samo jednom. Ispada da je udaljenost putovao toplinom u drugom harmonika upola jezgre. Osim toga, gradijent drugoj polovici će biti strmija od prve. Prema tome, budući da je intenzivniji toplinski tok prolazi udovici minimalnu udaljenost, onda će to biti prigušena harmonika četiri puta brže nego glavni, kao funkcija vremena. U sljedećem postupku bit će još brže. Matematičar vjeruje da je ova metoda omogućava nam da izračunati proces početne raspodjele temperature s vremenom.

Video: Problem analizatori i Fourier (bez matematike i svistoperdelki)

poziv suvremenici

Fourierove transformacije algoritam je postao izazov za teorijskim temeljima matematike na vrijeme. U ranom devetnaestom stoljeću, najistaknutiji znanstvenici, uključujući i Lagrangeov, Laplace, Poissonova, Legendre i Biot nije prihvatio njegovu tvrdnju da je temperatura od početne raspodjele se razlaže na komponente u obliku temeljnog vala i višu frekvenciju. Međutim, Akademija znanosti ne može ignorirati rezultate dobivene matematičara i dodijelio mu nagradu za teoriju topline provođenje zakona, kao i vođenje svoje usporedbu s fizičkim pokusima. U Fourierova pristupu, glavni prigovor je činjenica da diskontinuirani funkcija predstavlja zbroj nekoliko sinusnih funkcija, koje su kontinuirano. Uostalom, oni opisuju pucanja ravne i zakrivljene linije. Suvremeni znanstvenici nikad prije nije susreo s takvom situacijom, kada su prekinute funkcije opisane kombinacijom kontinuirano, kao što je kvadratnog oblika, linearno, sine ili izlagača. U slučaju da je matematičar bio u pravu u svojim tvrdnjama, zbroj beskonačnog niza trigonometrijskih funkcija trebala biti ograničena na točnu brzinu. Dok je takav zahtjev činilo apsurdnim. Međutim, unatoč sumnjama nekih istraživača (npr Claude Navier, Sophie Germain) proširio je opseg istraživanja i izvede ih iz analize distribucije topline. Matematike, u međuvremenu, i dalje trpi pitanje da li je iznos od nekoliko sinusnih funkcija se svodi na točan reprezentacije od pucanja.

povijest 200 godina

Ova teorija je evoluirala tijekom dva stoljeća, danas je konačno formirana. Uz pomoć prostornih ili vremenskih funkcija provalio u sinusnih komponente koje imaju frekvencije, faze i amplitude. Ova pretvorba je dobiti dva različita matematičkih metoda. Prvi od njih se koristi u slučaju kada je izvor Kontinuirani, a drugi - u slučaju gdje je predstavljen više odvojenih pojedinačnih promjena. Ako se ne postigne izraz od vrijednosti, koje su definirane na diskretnim intervalima, može se podijeliti u nekoliko odvojenih sinusoidnim frekvencija izraza - od najniže, a potom udvostručio, utrostručen, i tako dalje iznad temeljni. Taj iznos se naziva Fourier series. Ako je početni izraz postavlja vrijednost svake pravi broj može se podijeliti na više sinusnih svim mogućim frekvencijama. To se zove Fourier integral, a odluka podrazumijeva transformaciju integralne funkcije. Bez obzira na postupak za dobivanje transformacije za svaku frekvenciju treba navesti: dva broja amplitude i frekvencije. Ove vrijednosti su izražene kao jedan Kompleks broj. Izraz složene varijable teorija zajedno sa Fourierova transformacija obavljati izračune dopušteno projektiranje raznih električnih krugova, analiza mehaničkih vibracija, proučavanje mehanizma propagacije vala i drugi.

Fourierova transformacija danas

Danas, proučavanje tog procesa u osnovi se svodi na pronalaženje učinkovite metode za prijelaz iz funkcije pretvoriti ga natrag na pamet. Ovo rješenje se zove direktna i inverzna Fourierova transformacija. Što to znači? Da bi se utvrdilo sastavni i izravno Fourierove transformacije, možete koristiti matematičke metode, ali možete analitički. Unatoč činjenici da kada se koriste u praksi postoje neke poteškoće, većina integrali već su pronađeni i ušao u matematičkim udžbenicima. Uz pomoć numeričkih metoda može se izračunati izraza, od kojih je oblik se temelji na eksperimentalnim podacima, u funkciji čije su integrali u tablicama nedostaje, a oni su teško zamisliti u analitičkom obliku.

Video: Predavanje 8: diskretne Fourierove transformacije

Prije pojave računala inženjerske izračune takve transformacije bio vrlo zahtjevan, oni zahtijevaju ručno izvođenje velikog broja aritmetičkih operacija koje ovise o broju bodova koji opisuju funkciju val. Kako bi se olakšalo rješavanje danas, postoje posebni programi koji će omogućiti provedbu novog analitičke metode. Dakle, u 1965, James Cooley i John Tukey stvorio softver koji je postao poznat kao „Brzi Fourier Transform”. To štedi vrijeme izračuna smanjenjem broja množenja u analizi krivulje. „Brzi Fourier Transform” Metoda se temelji na dijeljenjem krivulje u velikom broju jedinstvenih vrijednosti uzorka. Prema tome, broj množenja se smanjuje za polovicu, na isti smanjenje broja bodova.

Primjenom Fourierove transformacije

Ovaj proces se koristi u raznim područjima znanosti: u teorija brojeva fizika, obrada signala, kombinatorika, teorija vjerojatnosti, kriptografija, statistika, oceanografija, optika, akustika i druge geometrije. Bogate mogućnosti za njegovu uporabu temelje se na broju korisnih značajki, koje se zovu "Fourierova transformacija svojstava", Nemojmo ih ispitati.

Video: Predavanje 11: Fourier Transform

1. Funkcija pretvorbe je linearni operator i odgovarajući normalizacije je jedinstvena. Ovaj objekt je poznat kao Parseval teorem, ili u općem slučaju, teorem Plansherelja ili Pontrjagin dualizam.

2. Konverzija je reverzibilno. Osim toga, suprotno rezultat je uglavnom sličan oblik kao i izravno adresiranje.

3. sinusni Osnovni izrazi svoje diferencirane funkcije. To znači da je takva prezentacija mijenja linearnih jednadžbi s konstantnim faktorom na uobičajen algebarskih.

4. Prema „konvolucija” teorem, proces čini kompleksnu operaciju u osnovnoj množenja.

Video: Što je Fourierova serije i što jedu - bezbotvy

5. diskretne Fourierove transformacije mogu se brzo dizajniran na računalo pomoću „brzo” način.

Varijacije na Fourier transform

1. Najčešće se pojam koristi da se odnosi na kontinuirani transformacije, dajući svaki četvrtasto integriranja izraz kao zbroj kompleksa eksponencijalnog ekspresije sa specifičnim kutna frekvencija i amplituda. Ova vrsta ima nekoliko različitih oblika, koji mogu biti različiti konstantnim koeficijentima. Kontinuirani postupak uključuje tablice konverzije, koja se može naći u priručnicima matematičke. Generalizirana slučaj je frakcijska pretvorbe, pri čemu se taj proces može se povećati na željenu stvarnom snagom.

2. Kontinuirani postupak je generalizacija ranijih tehnika Fourierova serije, specifična za bilo periodičnih funkcija ili izraza koji postoje u ograničenom području i predstavljaju ih kao niz sinusoida.

3. Diskretna Fourierova transformacija. Ova metoda se koristi u izračunu za znanstveno računanje i digitalne obrade signala. Za obavljanje ove vrste obračuna potrebno je imati funkciju određivanja na diskretni skup pojedinačnih bodova, periodična ili ograničena regije umjesto kontinuiranog Fourier integrali. pretvorbe signala, u ovom slučaju se prikazati kao zbroj sinusoida. Korištenje „brzo” metoda omogućuje korištenje digitalnih rješenja za sve praktične svrhe.

4. Prozor Fourierova transformacija je generalizirani pogled na klasične metode. Za razliku od standardnih rješenja, kada se koristi spektar signala, koji se uzima u punom opsegu postojanja ove varijable je od posebnog interesa ovdje je samo lokalna distribucija frekvencija, dok održavanje izvorne varijable (vrijeme).

5. dvodimenzionalni Fourierova transformacija. Ova metoda se koristi za rad s dvodimenzionalnim nizova podataka. U takvom slučaju, pretvorba se obavlja u jednom smjeru, a zatim - u drugoj.

zaključak

Danas je Fourierova metoda čvrsto ukorijenjena u različitim područjima znanosti. Na primjer, u 1962 otvorila oblik dvostruke spirale DNA pomoću Fourierove analize u kombinaciji s X-zrakama. Nedavna kristala usmjerena na DNA vlakna, što rezultira u slici koja je dobivena pomoću difrakcije, zabilježen na filmu. Ova slika je dao podatke o vrijednosti amplitude uz pomoću Fourierove transformacije ovoj kristalnoj strukturi. Faza podaci dobiveni usporedbom DNK difrakcije kartice s karticama koji su dobiveni u analizi sličnih kemijskih struktura. Kao rezultat toga, biolozi obnovljena kristalnu strukturu - izvornu funkciju.

Fourierove transformacije odigrati veliku ulogu u istraživanju svemira, fizike poluvodičkih materijala i plazme, mikrovalne akustike, oceanografije, radar, seizmologije i liječničkih pregleda.