Dijagonalni jednakostraničan u obliku trapeza. Što je srednja linija trapeza. Vrste trapeza. Trapez - to ..

Trapez - poseban slučaj četverokut, u kojem je jedan par strana je paralelna. Izraz „u obliku trapeza” dolazi od grčke riječi &tau-&rho- &pi-&epsilon-&zeta-&alfa, što znači "stol", "stol", U ovom članku ćemo pogledati vrsta trapeza i njegovih svojstava. Također, gledamo kako izračunati pojedine elemente geometrijske figure. Na primjer, dijagonale jednakostraničnog trapeza, srednje linije, prostor i drugi. Materijal sadržan u osnovnoj geometrije popularnom stilu, t. E. U lako dostupan način.

pregled

Prvo, neka je shvatiti što je četverokut. Ova brojka je poseban slučaj poligon ima četiri strane i četiri vrhova. Dva vrhovi četverokuta, koji nisu susjedni, zovu suprotno. Isto se može reći dvije ne-susjedne strane. Glavne vrste četverokuta - paralelogram, pravokutnik, romb, kvadrat, trapez i deltoidnu.

Dakle, natrag na trapez. Kao što smo rekli, ta brojka su dvije strane paralelne. Oni se zovu baze. Druga dva (ne-paralelna) - sa strane. Materijali različitih ispita i ispita često možete susresti izazove povezane s trapeza čije rješenje često zahtijeva znanje studenta koji nije pokriven programom. Škola geometrija Tečaj upoznaje učenike s kutem svojstvima i dijagonala, kao i središnjoj crti jednakokračnog trapeza. No, osim onih navedenih geometrijski oblik ima i druge značajke. No, o njima kasnije ...

vrste trapez

Postoje mnoge vrste tu brojku. Međutim, najčešće uobičajeno uzeti u obzir dvije od njih - jednakokračan i pravokutan.

1. Pravokutni trapezoid - lik u kojoj jedan od strane okomito na bazu. Ona ima dvije kutovi su uvijek jednaka devedeset stupnjeva.

2. jednakokračan trapez - geometrijski lik čije strane su jednake. Dakle, i kutovi u podnožju također su jednaki.

Glavni principi metoda za proučavanje svojstava trapeza

Osnovna načela uključuju korištenje tzv zadatak pristupa. U stvari, nema potrebe ulaziti u teorijskom naravno geometriju novih svojstava ovoj slici. Oni mogu biti otvorene ili u procesu formuliranja razne zadatke (bolji sustav). Vrlo je važno da nastavnik zna koje zadatke trebate staviti ispred studenata u bilo kojem trenutku u procesu učenja. Štoviše, svaki trapezoidnog oblika imovine može se prikazati kao ključni zadatak u zadacima sustava.

Drugi princip je takozvani spiralni organizacija studija „izvanredne” trapez svojstva. To podrazumijeva povratak u procesu učenja individualnim značajkama geometrijskog lika. Dakle, studenti lakše ih zapamtiti. Na primjer, svojstvo od četiri boda. To se može dokazati kako u istraživanju sličnosti i nakon toga pomoću vektora. A jednakih trokuta susjedan strane slike, moguće je pokazati pomoću ne samo svojstva trokuta s jednakim visina provodi na stranama koje leže na ravnoj liniji, ali i pomoću formule S = 1/2 (ab * sin&alfa-). Osim toga, moguće je da se radi Sinusa upisan na trapezu ili pravokutni trokut opisano u trapeza i sl. d.

Korištenje „izvanškolske” ima geometrijski lik u sadržaju školske godine - što je tasking njihove tehnologije nastavu. Stalno pozivanje na proučavanje svojstava prolaska drugoga omogućuje studentima naučiti trapez dublje i osigurava uspjeh zadatka. Dakle, možemo prijeći na proučavanje ove izvanredne slici.

Elementi i svojstva jednakokračnog trapeza

Kao što smo naveli, u ovom geometrijski lik strane jednaki. Ipak, to je poznato kao pravi trapeza. A što je to tako izvanredan i zašto je dobio ime? Posebnost ovog lika odnosi da ona ima ne samo jednake strane i kutova u bazi, ali i dijagonalno. Osim toga, zbroj kutova jednakokračnog trapeza je jednak 360 stupnjeva. Ali to nije sve! Samo oko jednakokračan se može opisati krug svih poznatih trapeza. To je zbog činjenice da je zbroj suprotnih kutova na ovoj slici je 180 stupnjeva, a samo pod ovim uvjetima može se opisati kao krug oko četverokuta. Sljedeći svojstva geometrijskog lika je da je udaljenost od vrha baze do projekcije suprotnih vrhova na liniji koja sadrži ova baza će biti jednaka sredini.

Video: jednakostraničan trapez s bazama okomito na dijagonali stranu

Sada pogledajmo kako pronaći kutove jednakokračnog trapeza. Razmislite rješenje za ovaj problem, pod uvjetom da je veličina stranaka poznat lik.

odluka

Uobičajeno je da označi četverokuta slova A, B, C, D, gdje BS i AT - temelj. U jednakokračnog trapeza strane su jednake. Pretpostavimo li da je njihova veličina jednaka X i Y dimenzije su baze i Z (manji i veći, redom). Za izračun kuta potrebno provesti u visini H. rezultat je pravokutan trokut ABN gdje AB - je dužina hipotenuze i BN i AN - noge. Izračunati veličinu noge AN: oduzimaju od veće baze minimalnom, a rezultat se dijeli s 2. objavu formule: (Z-Y) / 2 = F. A, izračunati oštri kut od korištenja trokut funkcija cos. Mi smo dobili sljedeći unos: cos (&beta) = X / F. Sada izračunati kut: &beta-arcos (X / F). Nadalje, znajući jedan kut, možemo odrediti i drugi, kako bi ovaj osnovnu aritmetičke operacije: 180 - &beta. Svi kutovi su definirani.

Tu je i druga rješenja ovog problema. Na početak je izostavljen iz kornera u visini nogu N. izračunava vrijednost BN. Znamo da je kvadrat hipotenuze pravokutnog trokuta jednak je zbroju kvadrata na ostale dvije strane. Dobiti: BN = &radic- (X2 F2). Dalje, mi koristimo trigonometrijskih funkcija TG. Kao rezultat toga, imamo: &beta = arctg (BN / F). Zašiljenost nalazi. Zatim definiramo tupi kut, kao u prvom postupku.

Vlasništvo dijagonala jednakokračnog trapeza

Prvo, mi pisati četiri pravila. Ako dijagonale u jednakokračnog trapeza su okomito, a zatim:

- visina slici jednak zbroju baza, podijeljene dva;

- visok i srednje linije jednaka;

- Područje trapeza jednaka kvadratom visine (središnje linije do pola baza);

- kvadrat dijagonalno jednak pola sume ili kvadratnih baza dvaput kvadrat srednje linije (visina).

Sada pogledajte formula definira dijagonale jednakostraničnog trapeza. Taj podatak može se podijeliti u četiri dijela:

1. Formula dijagonalno preko dužine sa strane.

Video: Više od segmenata, koja dijeli srednje linije trapeza jedan od njegovih dijagonala

Pretpostavljamo da je A - niže baze, b - Top C - jednake strane, D - dijagonala. U tom slučaju, dužina može se odrediti na sljedeći način:

D = &radic- (C2 + A * B).

2. Formula za dijagonalno duljinu kosinus.

Pretpostavljamo da je A - niža baza, B - Vrh, C - jednake strane, D - dijagonala, &alfa- (na donjem baze) i &beta- (gornji baza) - trapeznih ugla. Dobivamo sljedeću formulu, na koji se može izračunati dužinu dijagonale:

- D = &radic- (A2 + S2-2A * C * cos&alfa-);

- D = &radic- (A2 + S2-2A * C * cos&beta);

- D = &radic- (B2 + C * * S2-2V cos&beta);

- D = &radic- (B2 + C * * S2-2V cos&alfa-).

3. Formula dijagonale dužina jednakokračnog trapeza.

Pretpostavimo li da je A - niža baze, B - gornji, D - dijagonala, M - središnja linija H - visina, P - površina trapeza &i alfa &beta - kutovi između dijagonale. Odrediti duljinu od sljedećih formula:

- D = &radic- (M2 + N2);

- D = &radic- (H2 + (A + B) 2/4);

- D = &radic- (H (A + B) / sin&alfa-) = &radic- (2P / sin&alfa-) = &radic- (2M + H / sin&alfa-).

Za ovaj slučaj jednakost vrijedi: grijeh&alfa = sin&beta.

4. Formula dijagonalno kroz duljinu strane i visine.

Pretpostavimo li da je A - niža baze, B - Top, C - strane, D - dijagonala, H - visina, &alfa - kut na donjoj bazi.

Odrediti duljinu od sljedećih formula:

- D = &radic- (H2 + (A-P * CTG&alfa-) 2);

- D = &radic- (H2 + (B + F * CTG&alfa-) 2);

- D = &radic- (A2 + S2-2A *&radic- (C2-H2)).

Elementi i svojstva pravokutnog trapeza

Pogledajmo što su zainteresirani za ovaj geometrijski lik. Kao što smo rekli, imamo pravokutni trapeza dvije prave kutove.

Osim klasičnog definiciji, tu su i drugi. Na primjer, pravokutnog trapezoid - trapezoid u kojem je jedna strana okomito na bazu. Ili oblika koji imaju na bočnim kutovima. U ovoj vrsti visine trapeza je strana koja je okomita na bazama. Srednji red - segment koji povezuje polovišta dviju strana. Objekt navedenog elementa je da je paralelno s bazama i jednaka polovini njihove sume.

Sada ćemo razmotriti osnovne formule koje definiraju geometrijske oblike. Za to, pretpostavimo da su A i B - osnovaniya- C (okomito na osnovicu), a D - dio pravokutnog trapeza, M - srednja linija &alfa - oštar kut, P - prostor.

1. Bočni okomito na bazama lik jednaka visini (C = N), i iznosi dužina na drugoj strani i sinus kut A &alfa- na višoj razini (C = A * sin&alfa-). Osim toga, ona je proizvod tangente od šiljatog kuta &alfa- i razlike od baza: C = (A-B) * tg&alfa.

2. strana D (nije okomito na bazu) jednak kvocijentu razlike A i B i kosinusu (&alfa) oštar kut oblik ili privatne visine H i sine oštar kut: A = (A-B) / cos &alfa-C / sin&alfa.

Video: dijagonala od jednakokračnog trapeza jednake. | URS 2016 | POSAO 13 | Pitagorin škola

3. strana koja je okomita na bazama, jednak korijenu kvadrata razlika, D - druga strana - i kvadratni baza razlike:

C = &radic- (q2 (A-B) 2).

4. Bočni Pravokutna trapezna jednak korijenu sume kvadrata strane i kvadrata razlika C baza geometrijski lik: A = &radic- (C2 + (A-B) 2).

5. strana C je jednak kvocijentu kvadratnog dvostrukog zbroja svojih baza: C = P / M = 2P / (A + B).

6. Područje definirano M proizvoda (središnje linije trapeza pravokutnim) u visinu ili bočnom smjeru okomitom na bazi: P = M * N = M * C

7. Položaj C jednaka dvostrukoj kvocijent Trg oblik umnoškom sinus pod oštrim kutom, a zbroj svojih baza: C = P / M + žrtvu&alfa-2P / ((A + B) + sin&alfa-).

8. Spoj formule strana pravokutne trapeza kroz dijagonale i kut između njih

- grijeh&alfa = sinβ

- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sin&alfa- = (D1 * D2 / (A + B)) * sin&beta-,

gdje D1 i D2 - dijagonale trapetsii- &i alfa &beta - kutovi među njima.

9. Spoj formule strane pod kutom na donjoj bazi i drugi: A = (A-B) / cos&alfa-C / sin&alfa-H / sin&alfa.

Budući da je u obliku trapeza s pravim kutom je poseban slučaj trapeza, s druge formule koje određuju ove brojke, zadovoljiti će i pravokutni.

Nekretnine incircle

Ako je uvjet je rekao da je u pravokutnom trapezoidnog upisane kružnice, onda možete koristiti sljedeća svojstva:

- količina baze je zbroj strane;

- udaljenost od vrha pravokutnog oblika na mjestima tangencije upisane kružnice je uvijek jednak;

- visina trapeza jednaka strane, okomito na bazu, i krug promjera;

- Krug centar je točka u kojoj se sijeku simetrale kutova;

- Ako je bočna strana dodiru je podijeljen u duljinama N i M; radijus kruga To je korijen proizvoda iz tih segmenata;

- četverokut formirana od točke dodira, na vrhu trapeza i središte upisane kružnice - to je trg, na čijoj je jednak radijusu;

- područje na slici je proizvod razuma i proizvoda od polovine sume baza na svom vrhuncu.

Slično trapez

Ova tema je vrlo korisno za proučavanje svojstava geometrijskih likova. Na primjer, dijagonale podijeljen u četiri trokuta trapeza, te su uz baze slično, i na strane - od jednake. Ova izjava može nazvati svojstvo trokuta, što je slomljena trapez njegove dijagonale. Prvi dio ovog izvješća dokazuje kroz znak sličnosti dva ugla. Da bi dokazali drugi dio bolje je koristiti metodu izloženu u nastavku.

dokaz

Prihvati ta brojka ABSD (AD i BC - temelj trapeza) je slomljen dijagonala HP-a i AC. Točka sjecišta - O. Mi smo dobili četiri trokuta: AOC - na niže baze, origami - gornja baza, ABO i Sod sa strane. Trokuti SOD i biofeedback imaju zajedničku visinu u tom slučaju, ako su segmenti BO i OD su njihove baze. Nalazimo da je razlika njihovih površina (P) jednaka razlici od tih segmenata: PBOS / BO = PSOD / ML = K. Prema tome, PSOD = PBOS / K. Isto tako, trokuti AOB i biofeedback imaju zajedničku visinu. Prihvaćen za baznih dijelova SB i OA. Dobivamo PBOS / PAOB = CO / OA = K i PAOB = PBOS / K. Iz toga slijedi da PSOD = PAOB.

Za konsolidaciju materijalne studenti se potiču pronaći vezu između područja trokuta, kojeg se pokvario trapez njegove dijagonale, odlučujući sljedeći zadatak. Poznato je da trokuti Bos i ADP područja su jednaki, potrebno je pronaći područje s trapeza. Jer PSOD = PAOB, zatim PABSD PBOS + PAOD + 2 * PSOD. Zbog sličnosti trokuta i BOS ADP pokazuje da BO / OD = &radic- (PBOS / PAOD). Prema tome, PBOS / BO = PSOD / OD = &radic- (PBOS / PAOD). Prvi PSOD = &radic- (PBOS * PAOD). Zatim PABSD PBOS + PAOD + 2 *&radic- (PAOD PBOS *) = (&Radić-PBOS +&Radić-PAOD) 2.

svojstva sličnosti

Nastavljajući razvijati ovu temu, to je moguće dokazati, i druge zanimljive značajke trapeza. Dakle, uz pomoć sličnosti može dokazati segment nekretnina, koji prolazi kroz točku formira sjecištu dijagonala geometrijskog lika, paralelno sa zemljom. Za to ćemo riješiti sljedeći problem: potrebno je pronaći RK segment duljine koja prolazi kroz točku O. Iz sličnosti trokuta ADP i SPU slijedi da je AO / OS = AD / BS. Zbog sličnosti trokuta ADP i ASB slijedi da AB / AC-PO / AD = BS / (BP + BS). To znači da je BS * PO = AD / (AD + BC). Slično tome, zbog sličnosti trokuta MLC i slijedi da DBG redu * BP = BS / (BP + BS). To znači da je OC i RC = RC = 2 * * BS AD / (AD + BC). Segment prolazi kroz Sjecište paralele dijagonale do osnovice i spaja dvije strane je sjecište je podijeljen na dva dijela. Njegova dužina - je harmonijska sredina razloga figure.

Uzeti u obzir sljedeće karakteristike trapeza, koji se zove svojstvo četiri boda. točka sjecištu dijagonala (D), presjek nastavka strane (E) kao sredine baze (T i G) se uvijek leže u istoj liniji. Lako je dokazati sličnost. Rezultirajući trokuta su slični i BES AED, te uključujući i medijan ET DLY podijeli na šiljasti kut E na jednake dijelove. Stoga, točka E, T i F su kolinearna. Slično tome, na istoj liniji su raspoređeni u odnosu na T, O i G. To proizlazi iz sličnosti trokuta i BOS Anm. Stoga možemo zaključiti da su sva četiri uvjeti - E, T, O i F - će ležati na ravnoj liniji.

Koristeći slične trapeza, može ponuditi i učenicima pronaći duljinu segmenta (LF), koja dijeli sliku na dva dijela kao što je. Ovaj rez mora biti paralelno sa bazama. Od primljenog trapezoidnog ALFD LBSF i slično, BS / LF = LF / AD. To znači da je LF =&radic- (BS x BP). Zaključujemo da je segment koji se dijeli na dva trapeza kao, ima duljinu koja je geometrijska sredina duljina baza shvatiti.

Uzeti u obzir sljedeće sličnosti imovine. Ona se temelji na segmentu koji dijeli trapeza na dva jednaka veličini komada. Prihvatite da trapez ABSD segment je podijeljen u dvije slične EH. S vrha B spušta visina tog segmenta je podijeljen u dva dijela HR - B1 i B2. Dobije PABSD / 2 = (BS + EH) * V1 / 2 = (AP + EH) + B2 / 2 = PABSD (BP + BS) + (B1 + B2) / 2. Nadalje sastaviti sustav, pri čemu je prvi jednadžba (BS + EH) + B1 = (GP + EH) + B2 i drugi (BS + EH) + B1 = (GP + BS) + (B1 + B2) / 2. Iz toga slijedi da B2 / B1 = (BS + EH) / (BP + EH) i BS + EH = ((BS + BP) / 2) + (1 + B2 / B1). Smatramo da je duljina dijeljenjem trapeza na dva jednaka, jednako prosječne duljine kvadratne baze: &Radic - ((CN2 + AQ2) / 2).

zaključci sličnosti

Dakle, dokazali smo da:

1. Segment povezuje sredini trapeza na bočnim stranama, paralelno s AT i BS i BS aritmetička sredina i (dužina baza trapezoida) BP.

2. Traka koja prolazi kroz točke O križanja dijagonalama paralelnog AD i BC biti jednaki harmonika srednje brojeve BP i BS (2 x BS x AD / (AD + BC)).

3. Segment rješava na sličan trapeza ima duljinu geometrijsku sredinu baze BS i BP.

4. element koji dijeli oblik u dvije jednake veličine, duljina znači kvadratnih brojeva BP i BS.

Za konsolidaciju materijala i svijest o povezanosti između segmenata studenta potrebno ih je graditi za određenu trapeza. On se lako može prikazati prosječnu liniju i segment koji prolazi kroz točku - sjecište dijagonala figure - paralelno sa zemljom. Ali gdje će biti treći i četvrti? Ovaj odgovor će dovesti učenika da otkriće nepoznatog odnosa između prosječnih vrijednosti.

Segment pridružio polovišta dijagonala trapeza

Razmislite o sljedećem imovinu na slici. Prihvatimo da je segment MN paralelno s bazama i podijeliti na pola dijagonalno. točka sjecišta se zove W i S. Ovaj segment će biti jednak polovini razlike razloga. Neka nas ispitati ovaj u više detalja. MSH - prosječna linija trokuta ABS je jednaka BS / 2. Minigap - srednja linija trokuta DBA, je jednaka AD / 2. Tada smo da SHSCH = minigap-MSH, dakle SHSCH = AD / 2-BS / 2 = (AD + BC) / 2.

centar ravnoteže

Pogledajmo kako definirati element za određeni geometrijski lik. Da biste to učinili, morate proširiti bazu u suprotnim smjerovima. Što to znači? Potrebno je dodati bazu na gornji dnu - na bilo koje od stranaka, na primjer, s desne strane. Niža produžiti dužinu gornjem lijevom kutu. Zatim spojite njihove dijagonale. Točka sjecišta ovom segmentu s središnje linije na slici je težište trapeza.

Upisane i opisane trapez

Idemo lista ima takve likove:

1. Linija može biti upisan u krug samo ako je jednakokračan.

2. Oko kruga može se opisati kao trapeza, uz uvjet da zbroj duljina njihovih baza je zbroj duljina strane.

Posljedice upisane kružnice:

1. Visina trapeza uvijek opisanim jednaka dvostrukoj radijusa.

2. strana trapeza opisanog se gleda iz središta kruga pod pravim kutom.

Prva posljedica je očito, i da se dokaže druga je potrebno da se utvrdi da je kut SOD je izravan, to jest, u stvari, i neće biti lako. Ali znanje o ovom objektu omogućuje uporabu pravokutni trokut za rješavanje problema.

Sada smo odrediti posljedice za jednakokračnog trapeza, koji je upisan u krug. Dobivamo da visina je geometrijska sredina figura baze: H = 2R-&radic- (BS x BP). Ispunjavanje osnovne metode rješavanja problema za trapeza (načelo dvije visine), student mora riješiti sljedeći zadatak. Prihvatiti da BT - visina jednakokračan figure ABSD. Morate pronaći proteže od AT i AP. Primjena formulu gore, to će učiniti opisan nije teško.

Sada neka nam objasni kako odrediti radijus kruga iz područja opisana trapeza. Izostavljen s vrha visine B na bazi BP. Budući da je upisan u krug trapeza, BS + 2ab = BP ili AB = (BS + BP) / 2. Iz trokuta ABN traženje grijeha&alfa-BN / 2x AB = BN / (AD + BC). PABSD = (BS + BP) BN * / 2, BN-2R. Dobije PABSD = (GP + BS) * R, slijedi da je R = PABSD / (AD + BC).

Video: CSE 2015 | Zadatak 4 | U jednakokračnog trapeza ... Pitagorina škola

.

Sve formule medijalni trapez

Sada je vrijeme da ide na zadnjem stavku ovog geometrijskog lika. Mi ćemo razumjeti, što je srednja linija trapeza (m):

1. Kroz baza: M = (A + B) / 2.

2. Nakon visine, baze i kutovima:

• M-H = A * (CTG&alfa- + CTG&beta -) / 2;

• M + H = D * (CTG&alfa- + CTG&beta -) / 2.

Video: Test Rješenje Vanjski zadatak testiranje iz matematike 2014 31

3. Kroz visine i Dijagonalni kut između njih. Na primjer, D1 i D2 - dijagonale trapetsii- &alfa, &beta - kutovi među njima:

M = D1 * D2 * sin&alfa / 2H = D1 * D2 * sin&beta / 2H.

4. U području, a visina: M = R / N.