Njihalo: period i ubrzanje formule

Video: Video lekcija o fizici "Matematika i proljeće klatno"

Mehanički sustav koji se sastoji od materijalne točke (tijelo), koji visi na bestežinskom inextensible nit (njegova masa je zanemariva u odnosu na težinu tijela) u odori gravitacijskom polju, pod nazivom matematičkog njihala (drugi naziv - oscilator). Postoje i druge vrste uređaja. Umjesto filament bestežinskom šipke može se koristiti. Visak može jasno otkriva suštinu mnogih zanimljivih pojava. Kada male amplitude vibracija gibanje naziva harmonika.

Općenito o mehaničkom sustavu

Formula oscilacijske perioda njihala uzgajan nizozemski znanstvenik Huygens (1629-1695 GG).. Ovaj suvremeni Isaac Newton je bio vrlo sklon mehaničkog sustava. U 1656. on je stvorio prvi sat sa mehanizmom njihala. Oni su mjerili vrijeme s ekstremnom preciznošću za tim vremenima. Ovaj izum je bio veliki korak u razvoju fizičkih pokusa i praktičnih aktivnosti.

Ako je njihalo u ravnotežni položaj (visi vertikalno) je gravitacija je uravnotežena snaga napetosti konca. Stan njihalo na ne-rastezljiv pređe je sustav s dva stupnja slobode komunikacije. Kada se mijenja samo jedna komponenta promjene karakteristika svih njenih dijelova. Na primjer, ako je nit zamijenjen sa štapom, taj mehanički sustav je samo 1 stupanj slobode. Što je, dakle, svojstva matematičkog njihala? U ovom jednostavnom sustavu, pod utjecajem periodične perturbacija, pojavljuje kaos. U tom slučaju, kada je ovjes točka nije u pokretu, a oscilira pendulum je novi ravnotežni položaj. Ako brze fluktuacije gore i dolje ovaj mehaničkog sustava postaje stabilan položaj „naopako”. Ona također ima svoje ime. To se zove Kapitza njihalo.

Svojstva njihala

Visak je vrlo zanimljiva svojstva. Svi oni su podržani od strane dobro poznatih fizikalnih zakona. Period oscilacija njihala bilo drugog ovisi o različitim okolnostima kao što su veličina i oblik tijela, udaljenost između točke suspenzije i težišta, distribucije težine u odnosu na ovom mjestu. Zato je definicija visi razdoblju tijela je vrlo izazovna. Mnogo je lakše izračunati period od jednostavnog njihala, čija je formula u nastavku. Kao rezultat promatranja tih obrazaca može se postaviti na sličnim mehaničkim sustavima:

• Ako, zadržavajući istu duljinu njihala, suspendiran iz raznih opterećenja, razdoblje od oscilacija dobili isti, iako je njihova težina će se uvelike razlikovati. Prema tome, razdoblje njihala ne ovisi o masi tereta.

• Ako se sustav počne smanjivati ​​njihala nije prevelika, ali različitih kutova, to će se mijenjati na isti period, ali u različitim amplitudama. Dok odstupanja od centra ravnoteže nije prevelika odstupanja u njihovoj formi će biti dovoljno blizu harmonika. Razdoblje takvog njihala ne ovisi o vibracijskom amplitudom. Ovo svojstvo mehaničkog sustava naziva isochronism (u grčkim „Chronos” - vrijeme „Izosov” - jednaka).

Razdoblje jednostavnog njihala

Ova brojka predstavlja prirodni period oscilacija. Usprkos kompleksa formulacije, sam postupak je vrlo jednostavan. Ako je duljina pređe matematičkog pendela L i gravitacijskog ubrzanja g, ova vrijednost je jednaka:

T = 2&pi-&Radic-L / g

Mali razdoblje od prirodnih oscilacija ni na koji način ne ovisi o masi njihala i na vibracijskom amplitudom. U ovom slučaju, kao matematički visak kreće sa smanjenom duljine.

Oscilacije matematičkog njihala

Matematičko njihalo njiše, koja se može opisati jednostavnim diferencijalne jednadžbe:

Video: Demo verzija URS 2017. u matematici, problem 20

x + &omega-2 sin x = 0,

gdje x (t) - nepoznata funkcija (ovaj kut otklona od donjeg položaja ravnoteže u vremenu t, izražen u radijanima) - &omega - pozitivna konstanta koja je određena s parametrima njihala (&omega = &Radic-g / L, u kojoj g - ubrzanje sile teže, a L - duljina jednostavnog njihala (suspenzija).

Jednadžbu male oscilacije u blizini ravnotežnog položaja (harmonika jednadžba) kako slijedi:

x + &omega-2 sin x = 0

Oscilatorno gibanje njihala

Pendulum, što čini male oscilacije, kreće sinusoide. Drugi red diferencijalna jednadžba zadovoljava sve uvjete i parametre takvog pokreta. Da biste odredili put vam je potrebno postaviti brzinu i koordinate, koje je kasnije utvrđeno samostalne konstante:

x = A sin (&theta₀ + &omega-t),

gdje &theta₀ - inicijalna faza, A - amplituda oscilacija &omega - ciklički frekvencija određen iz jednadžbe gibanja.

Njihalo (formula za velike amplitude)

Ovaj mehanički sustav, obavljati svoje oscilacije s velikom amplitudom, to je predmetom više složenim prometnim zakonima. su izračunati prema formuli za takav pendela:

sin x / 2 = * u sn (&omega-t / u)

gdje SN - sine Jacobi, koji za u < 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (&epsilon- + &omega-2) / 2&omega-2,

gdje &epsilon- = E / mL2 (mL2 - energija njihala).

Određivanje nelinearne perioda osciliranja njihala po sljedećoj formuli:

T = 2&pi- /&omega,

gdje &omega = &pi- / 2 * &co / 2K (u), K - eliptični integral, &pi- - 3.14.

njihalo kretanje separatrix

To se zove separatrix putanju dinamičkog sustava, u kojima dvodimenzionalni faznog prostora. Visak prelazi na ne-povremeno. U beskrajno daleko trenutku padne s ekstremnim gornjem položaju prema nultoj brzini, a zatim se postupno dobiva. On je na kraju prestao, vraća u svoj prvobitni položaj.

Ako je amplituda titranja njihala pristupi broj &pi-, to sugerira da je prijedlog u fazi avion je u neposrednoj blizini separatrix. U tom slučaju, pod djelovanjem malog periodičnog pokretačku snagu mehaničkog sustava pokazuje kaotično ponašanje.

U slučaju jednostavnog njihala od ravnotežnog položaja pod kutom &phi- javlja F gravitacije tangencijalna sila&tau- = Mg grijeh &phi-. „Minus” znak znači da tangencijalne komponente usmjeren u suprotnom smjeru od smjera odstupanja njihala. Kada se govori preko spona istiskivanje x uzduž kružnog luka s radijusom L jednak svoj kutni pomak &phi- = x / L. Drugi zakon Isaac Newton, dizajniran za projekciju ubrzanja vektora i snage dobije željenu vrijednost:

mg &tau- = F&tau- = Mg sin x / L

Na temelju tog omjera, jasno je da se klatno je nelinearan sustav, kao sila koja teži da se vrati u svoj ravnotežni položaj, nije uvijek proporcionalna pomaka x, žrtvu x / L.

Tek kad se matematički visak obavlja male vibracije, to je harmonički oscilator. Drugim riječima, to postaje mehanički sustav sposoban za obavljanje harmonijske oscilacije. Ova aproksimacija vrijedi za gotovo kutova 15-20 °. Njihalo s velikim amplitudama nije skladan.

Newtonov zakon za male oscilacije klatna

Ako je mehanički sustav obavlja male oscilacije, 2. Newtonov zakon će izgledati ovako:

mg &tau- = F&tau- = -m * g / L * x.

Video: Alternativa derivacija oscilacije perioda proljeće njihala

Na temelju toga možemo zaključiti da je tangencijalno ubrzanje jednostavnog njihala je proporcionalna njegovoj zamjene sa znakom „minus”. To je stanje u kojem se sustav postaje harmonički oscilator. Faktor Modul proporcionalnosti između pomaka i ubrzanja jednak kvadrat kutne frekvencije:

&omega-02-g / L &omega-0- &radic- g / L

Ova formula odražava prirodnu frekvenciju malih oscilacija ove vrste njihala. Na toj osnovi,

T = 2&pi- / &omega-0 = 2&pi-&radic- g / L

Video: Fizički njihalo.

Izračuni na temelju zakona o očuvanju energije

Nekretnine gibanja klateći se može opisati uz pomoć zakona o očuvanju energije. Treba imati na umu da potencijalna energija njihalo u gravitacijskom polju:

E = h = mg MGL (1 - cos &alfa-) = mgL2sin2 &alfa- / 2

ukupno mehaničke energije To je jednako kinetičke i maksimalnog potencijala: Epmax = Ekmsx = E

Nakon što ste napisali zakon očuvanja energije, uzimajući derivat s lijeve i desne strane jednadžbe:

Ep + Ek = const

Jer je derivat konstante je jednak 0, tada (Ep + Ek) '= 0. derivat zbroja jednak zbroju derivata:

Ep` = (mg / L * x2 / 2) '= mg / 2L * * 2x x` = mg / L * v + = Ek` (MV2 / 2) = m / 2 (V2)' = m / 2 * 2v * v` = mv * &alfa,

dakle:

Mg / L * xv + MVA = v (mg / L * x + m &alfa-) = 0.

Na temelju posljednjeg formuli nalazimo: &alfa = - g / L * x.

Praktična primjena matematičkog njihala

ubrzanje slobodnom padu To ovisi zemljopisne širine, jer je gustoća kore oko planeta nisu identične. Gdje stijene se pojavljuju s većom gustoćom, to će biti nešto viša. Ubrzanje matematičkog njihala se često koristi za pretraživanje. U pomoć tražiti različitih minerala. Jednostavno računajući broj oscilacija njihala, to je moguće detektirati ugljena ili rude u utrobi Zemlje. To je zbog činjenice da ta sredstva imaju gustoću i težinu više od leži ispod labave stijene.

Matematičko njihalo koristi takvih istaknutih učenjaka kao što su Sokrat, Aristotel, Platon, Plutarh, Arhimed. Mnogi od njih vjeruje da je mehanički sustav može utjecati na sudbinu i život. Arhimed koristi matematički visak sa svojim izračunima. Danas, mnogi okultisti i vidovnjaci koristiti ovaj mehanički sustav za provedbu svojih proročanstava, ili traženju nestalih osoba.

Poznati francuski astronom i znanstvenik, Flammarion za istraživanja također koristi matematičkog njihala. Tvrdio je da uz njegovu pomoć je mogao predvidjeti otkriće novog planeta, nastanak Tunguske meteorita, i druge važne događaje. Tijekom Drugog svjetskog rata u Njemačkoj (Berlin) je radio kao specijalizirani institut njihala. Danas, takva istraživanja nisu dostupni München institut Parapsihologija. Njegov rad s njihala djelatnici ove ustanove pod nazivom „radiesteziey”.