Konveksne poligone. Definicija poligona. A dijagonala od poligona

podaci geometrijski oblici

konveksnih poligona

U toku elementarne geometrije uvijek tretiraju krajnje jednostavne poligona. Za razumijevanje svojstava geometrijskih oblika morate razumjeti njihovu prirodu. Za početak da shvate da zatvorena je bilo linija čiji krajevi su isti. A lik formirana njega, može imati različite konfiguracije. Poligon se zove jednostavan zatvorena polilinija čiji susjedne jedinice ne nalazi na jednom pravcu. Njegove veze i čvorovi, odnosno, strane i vrhovi geometrijske figure. Jednostavan složenih linija ne smije se sijeku.

Vrhovi poligona zovu susjedi, u slučaju da su krajevi jednog od njegove strane. Geometrijski lik koji ima n-ti broj vrhova, a time i n-ti broj stranaka nazivaju n-gon. Sama isprekidana crta je granica ili kontura geometrijskog lika. Poligonalni zrakoplov ili stan poligon zove završni dio bilo kojoj ravnini, njihova ograničena. Susjedni strane geometrijskog lika zove Poliliniju segmente koje potječu iz istog vrha. Oni neće biti susjede ako su na temelju različitih vrhova poligona.

Ostale definicije konveksnih poligona

U osnovnoj geometrije, postoji nekoliko jednaka značenja definicije, što ukazuje na ono što se zove konveksni poligon. Osim toga, sve ove izjave su jednako vrijedi. Konveksna mnogokut je onaj koji je:

• svaki segment koji povezuje bilo koje dvije točke u njemu, leži u potpunosti u njemu;

• u njima leže sve svoje dijagonala;

• svaki unutarnja kut nije veći od 180 °.

Poligon uvijek dijeli ravninu na dva dijela. Jedan od njih - ograničeno (to može biti zatvoren u krug), a drugi - neograničen. Prvi se zove unutarnje područje, a drugi - vanjska površina geometrijskog lika. To je sjecište poligona (drugim riječima - ukupna komponenta) nekoliko pola avionima. Dakle, svaki segment ima krajeve na mjestima koja pripadaju poligon u potpunosti pripada njemu.

Vrste konveksnih poligona

Definicija konveksni poligon ne znači da postoje mnoge vrste njima. A svaki od njih ima određene kriterije. Tako, ispupčene poligona, koji imaju unutarnji kut od 180 °, s obzirom na malo konveksan. Konveksna geometrijski lik koji ima tri vrha, naziva se trokut, četiri - četverokut, pet - peterokut, itd svaki od konveksnog n-gons ispunjava sljedeće bitne uvjete: .. N mora biti jednak ili veći od 3. Svaka od trokuta je konveksan. Geometrijski lik ove vrste u kojoj su svi vrhovi nalaze na krug, pod nazivom upisan krug. Opisan konveksni poligon se zove ako se svi njegovi strane oko kruga dotaknuti. Dva poligoni su pozvani jednak samo u slučaju kada se koristi na sloju mogu se kombinirati. Stan poligon naziva poligonalni zrakoplov (avion dio) koji ovog ograničenog geometrijske figure.

Redoviti konveksne poligone

Pravilni mnogokut zove geometrijske oblike s jednakim kutovima i stranama. Unutar njih tu je točka 0, što je jednako udaljene jedna od njegovih vrhova. To se zove središte geometrijske figure. Linije koje povezuju centar sa vrhovima geometrijskog lika zove apothem, a oni koji povezuju točke 0 sa strankama - polumjera.

Ispravan pravokutnik - trg. Jednakostraničan trokut naziva jednakostraničan. Za takve oblike ima sljedeće pravilo: svaki izbočeni kut mnogokut je 180 ° * (n-2) / n,

gdje je n - broj vrhova konveksne geometrijske slici.

Područje bilo pravilnog mnogokuta određuje prema formuli:

S = p * h,

gdje je p jednaka polovici zbroja svih strana poligona, a h je duljina apothem.

Nekretnine konveksne poligone

Konveksne poligone imaju određena svojstva. Dakle, segment koji povezuje bilo koje dvije točke geometrijskog lika, nužno se nalazi u njemu. dokaz:

Pretpostavimo da je P - na poligona. Uzeti dvije proizvoljne točke, npr A i B, koji pripadaju P. Prema trenutnom definiciji poligona, te točke nalaze se na jednoj strani ravne linije koja sadrži bilo kojeg smjera R. Prema tome, AB također ima to svojstvo, a koja je sadržana u R. A poligona uvijek može se podijeliti u nekoliko trokuta apsolutno sve dijagonala, koji drže jednu od svojih vrhova.

Kutovi konveksne geometrijskih oblika

Kutovi konveksnog poligona - su kutovi koje su nastale stranaka. Unutar uglovi su u unutrašnjem prostoru geometrijskog lika. Kut koji je formiran sa strane koji se spaja na vrh naziva kut poligona. uglovi susjedne Unutar kutova geometrijske figure, pod nazivom vanjski. Svaki ugao poligona, smješten unutar njega, je:

Video: B6.1 teorem o zbroju kutova konveksnog n-gon

180 ° - x

gdje je x - vrijednost izvan kutu. Ovaj jednostavan formula je primjenjiv na bilo koji tip geometrijskih oblika tih.

Općenito, za vanjskim uglovima postoje sljedećem pravilu: svaki poligona kut jednak je razlici između 180 ° i vrijednosti unutarnjeg kuta. To može imati vrijednosti u rasponu od -180 ° do 180 °. Prema tome, kada je unutarnja kut 120 °, izgleda imati vrijednost od 60 °.

Zbroj kutova konveksnog poligona

Zbroj unutarnjih kutova poligona je utvrđena formulom:

180 ° * (n-2),

gdje je n - broj vrhova u n-terokuta.

Video: 39 poligona

Zbroj kutova konveksnog poligona izračunava vrlo jednostavno. Razmotriti svaki takav geometrijski oblik. Da bi odredili zbroj kutova u poligona je potrebno za povezivanje jednog od svojih vrhova na ostale vrhove. Kao rezultat ove akcije pretvara (n-2) trokuta. Poznato je da je zbroj kutova bilo trokut je uvijek 180 °. Jer je njihov broj jednak bilo poligon (n-2), suma unutarnjih kutova slici jednak 180 ° x (n-2).

Iznos poligona ugla, naime, bilo koja dva susjedna unutarnje i vanjske kutove njima, u ovom konveksnim geometrijskog lika će uvijek biti jednak 180 °. Na temelju toga, možemo odrediti zbroj svih njegovih uglova:

180 x n.

Zbroj unutarnjih kutova 180 ° * (n-2). Prema tome, zbroj svih vanjskih uglova slici postavljen prema formuli:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Zbroj vanjskih kutova bilo poligona će uvijek biti jednak 360 ° (bez obzira na broj njegove strane).

Video: Ako dijagonala konveksnog četverokuta su ... | URS 2016 | POSAO 13 | Pitagorin škola

Van ugao poligona općenito predstavljeni razlika između 180 ° i vrijednosti unutarnjeg kuta.

Ostala svojstva poligona

Osim osnovnih svojstava geometrijskih likova podataka, oni također imaju i druge, koji se pojavljuju kada ih rukovanje. Tako, bilo koji od poligona može se podijeliti u višestruke konveksnog n-gons. Da biste to učinili, i dalje svaki od njegove strane i izrezati na geometrijski oblik uz ove ravne linije. Podijeliti bilo poligon u nekoliko konveksnih dijelova je moguće i tako da je vrh svakog komada podudaraju sa svim svojim vrhovima. Od geometrijski lik može biti vrlo jednostavna kako bi trokuta kroz sve dijagonala iz jednog vrha. Dakle, bilo koji poligon, u konačnici, može se podijeliti u određeni broj trokuta, što je vrlo korisno u rješavanju različitih zadataka u vezi s tim geometrijskim oblicima.

Perimetru poligona

Segmenti polilinije, poligona zvani stranke, često označene sljedećim slovima: AB, BC, CD, DE, EA. Ove strane geometrijski lik sa vrha A, B, C, D, E. Zbroj duljina od strane konveksni poligon se zove njegov opseg.

Opseg poligona

Konveksne poligone mogu se upisati i opisano. Krug tangenta na sve strane geometrijskog lika, zove upisane u nju. Ovaj poligon naziva opisano. Centar krug koji je upisan u poligonu je točka sjecište simetrala kutova unutar određenog geometrijskog oblika. Područje poligonu je jednaka:

S = p * r,

gdje r - radijus kružnice upisane i p - semiperimeter ovog poligona.

Krug sadrži poligonu vrhova, zove opisano u blizini. Nadalje, ovaj konveksna geometrijski lik zove upisan. Krug centar, koji je opisan oko takvog poligona je tzv sjecište midperpendiculars sve strane.

Dijagonalni konveksne geometrijski oblici

Dijagonale konveksnog poligona - segment koji povezuje nisu susjedne vrhove. Svaki od njih je u ovom geometrijskom slici. Broj dijagonala n-gon postavljen prema formuli:

N = n (n - 3) / 2.

Broj dijagonala konveksnog poligona igra važnu ulogu u osnovnoj geometrije. Broj trokuta (K), koji se može probiti svaki poligona, izračunat je pomoću slijedeće formule:

K = n - 2,

Broj dijagonala konveksnog poligona uvijek ovisi o broju vrhova.

Video: zbroj vanjskih kutova konveksnog poligona

Podjela na poligona

U nekim slučajevima, za rješavanje geometriju poslove potrebne za break poligona u nekoliko trokuta s ne sijeku dijagonale. Ovaj problem se može riješiti uklanjanjem određene formule.

Definiranje problema: poziv pravu vrstu podjele konveksne n-gon u nekoliko trokuta po dijagonalama koje se sijeku samo na vrhovima geometrijskog lika.

Rješenje: Pretpostavimo da je P1, P2, P3 &hellip-, Pn - vrhovi n-gon. Broj Xn - broj njegovih particija. Pažljivo razmotriti nastalu dijagonale geometrijski lik Pi PN. U svakom od redovitih particija P1 Pn pripada određenoj trokut P1 Pi Pn, u kojoj je jedan

Neka i = 2 je skupina redovnih particija, uvijek sadrži dijagonale P2 PN. Broj pregrada koje su uključene u njemu jednak broju pregrada (n-1) gon P2 P3 P4&hellip- Pn. Drugim riječima, to je jednako Xn-1.

Ako je i = 3, onda druga skupina particije će uvijek sadržavati dijagonale P3 P1 i P3 PN. Broj točnih pregrada koje se nalaze u skupini će se podudarati s brojem pregrada (n-2), gon P3 P4&hellip- Pn. Drugim riječima, to će biti Xn-2.

Neka i = 4, a zatim ispravan pregrada između trokuta mora sadržavati P1 P4 pn trokut koji će biti susjedni četverostrana P1 P2 P3 P4, (n-3) gon P4 P5&hellip- Pn. Broj točnih pregrada kao četverokut jednaka X4, a broj pregrada (n-3) jednak gon Xn-3. Na temelju navedenog, možemo reći da je ukupan broj redovnih particija koje su sadržane u ovoj skupini jednaka Xn-3 X4. Druge skupine, u kojima je J = 4, 5, 6, 7&hellip- sadrže Xn-4 X5, X6-5 Xn, Xn X7 6 &hellip- redovite particije.

Neka i = n-2, broj točnih pregradnih stanica u danoj grupi će se podudarati s brojem pregrada u skupini, u kojoj je i = 2 (drugim riječima, iznosi Xn-1).

Budući da X1 = X2 = X3 = 0, 1, X4 = 2&hellip- broj pregrada poligona je:

Xn = xn-1 + 2 + xn-xn-3 X4 + xn-4 X5 + &hellip- + x 5 + 4 Xn-Xn-X 4 + 3 + 2-Xn Xn-1.

primjer:

X5 = X4 + X3 X4 + = 5

X6 = X4 X5 + + + X4 X5 = 14

X7 + X5 = X6 + X4 * X4 X5 + + X6 = 42

X7 = X8 + X6 + X4 X5 * + * X4 X5 X6 + + X7 = 132

Broj točnih particija sijeku u jednoj dijagonali

Prilikom provjere pojedinačnih slučajeva, može se pretpostaviti da je broj dijagonala konveksnog n-gon je jednaka umnošku svih particija ovog grafikona uzorak (n-3).

Dokaz te pretpostavke: pretpostaviti da P1n = Xn * (n-3), tada svaki n-gon mogu se podijeliti u (n-2) je trokut. U tom slučaju jedan od njih može biti složen (n-3) -chetyrehugolnik. U isto vrijeme, svaki četverokut je dijagonale. Od ove geometrijske konveksnom Slici dva dijagonala može se provesti, što znači da se u bilo kojem (n-3) može provesti dodatno -chetyrehugolnikah dijagonale (n-3). Na temelju toga možemo zaključiti da je u bilo kojem odgovarajućem particiji ima priliku (n-3) -diagonali ispunjava zahtjeve ovog zadatka.

Površina konveksne poligone

Često, u rješavanju različitih problema elementarne geometrije postoji potreba da se utvrdi područje konveksnog poligona. Pretpostavljaju da (Xi, Yi), i = 1,2,3&hellip- n predstavlja sekvencu koordinata svih susjednih vrhovima mnogokuta, koji nema vlastite križanja. U tom slučaju, njegova površina izračunava se prema sljedećoj formuli:

S = ½- (&rezimi- (X_ja + X_{i + 1}) (Y_ja + Y_{i + 1})),

naznačen time, da (X₁, Y₁) = (X_{n 1}, Y_{n + 1}).