Jednadžba ravnine: kako napraviti? Tipovi avion jednadžbe

Zrakoplov prostor može se definirati na različite načine (jednu točku i vektor, vektor i dva boda, tri boda, itd). To je s tim na umu, jednadžba ravnine može imati različite vrste. Također pod određenim uvjetima ravnina može biti paralelno, okomito, sijeku, itd Na to i da će govoriti u ovom članku. Mi ćemo naučiti kako napraviti opću jednadžbu ravnine, a ne samo.

Normalna oblik jednadžbe

Pretpostavimo da postoji prostor R₃, koja ima pravokutni koordinatni sustav xyz. Definiramo vektor &alfa, koji izlazi od početne točke O. Po završetku vektora &alfa- izvući ravnine P koja se okomito na njega.

Označuju P na proizvoljnom točke Q = (x, y, z). Radijus vektor točke Q znak slova str. U ovom duljine vektora &alfa-p jednak = I&i alfa-I = (cos&alfa, cos&beta, cos&gama-).

Video: 13. Jednadžba linije u ravnini (formula)

Je jediničnu vektor, koji je usmjeren na stranu, kao vektor &alfa. &alfa, &i beta &gama - su kutovi koji se formiraju između vektora i pozitivnim smjerovima osi svemirske x, y, z respektivno. Projekcija točke P na vektor Q je konstanta koja je jednaka p (p) = p (p&ge-0).

Gornja jednadžba je značajno kada je p = 0. Jedini ravnina P u ovom slučaju, križnim O (&alfa = 0), koja je izvor, i jedinica za vektor, izdan od točke O biti okomita na P, iako njegova smjeru, što znači da je vektor određuje do oznake. Prethodna jednadžba je naša ravnina P, izražen u vektorskom obliku. No, u pogledu njegovih koordinata je:

P je veća od ili jednaka 0. Našli smo jednadžbu ravnine u normalnom obliku.

Opća jednadžba

Ako je jednadžba u koordinatama pomnožiti sa bilo kojeg broja koji nije jednak nuli, dobivamo ekvivalent jednadžbi na to koji definira samu avion. To će imati sljedeći oblik:

Ovdje, A, B, C - je broj istovremeno različit od nule. Ova jednadžba naziva se jednadžba općeg oblika ravnine.

Jednadžbe ravninama. posebni slučajevi

Jednadžba općenito može se mijenjati s dodatnim uvjetima. Razmotriti neke od njih.

Pretpostavljaju da je koeficijent A 0. To ukazuje da je paralelna s ravninom na prethodno određene osi Ox. U ovom slučaju, oblik jednadžbe mijenja: Wu + Cz + D = 0.

Slično tome, oblik jednadžbe i varirat će sa sljedećim uvjetima:

• Prvo, ako je B = 0, jednadžba promjene Ax + Cz + D = 0, što bi ukazivalo na paralelizam na osi Oy.
• Drugo, da c = 0, jednadžba je transformiran u Ax + By + D = 0, to jest oko paralelno na prethodno određene osi Oz.
• Treće, ako je D = 0, jednadžba će se pojaviti kao Ax + By + Cz = 0, što bi značilo da je avion presijeca O (podrijetlo).
• Četvrto, ako je A = B = 0, jednadžba promjene Cz + D = 0, što će dokazati da paralelizma Oxy.
• Peto, ako B = C = 0, jednadžba postaje Ax + D = 0, što znači da je ravnina je paralelna Oyz.
• Šesto, ako A = C = 0, jednadžba ima oblik Wu + D = 0, tj prijavi se na paralelnost Oxz.

Oblik jednadžbe u segmentima

U slučaju kada je broj A, B, C, D različit od nule, oblik jednadžbe (0) mogu biti kao što slijedi:

x / a + y / b + z / c = 1,

gdje je a = D / A, b = D / B, c = D / C

Primamo kao jednadžba rezultat ravnine u komadima. Treba napomenuti da je ovaj avion će presjeći na osi x na mjestu s koordinatama (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), a Oz - (0,0, S).

Obzirom jednadžba x / a + y / b + z / c = 1, nije teško vizualizirati ravnine položaj u odnosu na prethodno određenom sustavu koordinata.

Koordinate normalnog vektora

Normalno vektor n ravnine P ima koordinate koje su koeficijenti opće jednadžbe ravnine, tj n (A, B, C).

Kako bi se utvrdilo koordinate normalan n, dovoljno je znati opće jednadžbe dano avion.

Kada pomoću jednadžbe u segmentima, koji ima oblik x / a + y / b + z / c = 1, kao i kada se koristi opću jednadžbu može biti napisana koordinate bilo normalno vektora dani ravnine: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Treba napomenuti da je vektor normale pomaže u rješavanju raznih problema. Najčešći problemi koji se sastoji u dokaz okomite ili paralelnim ravninama, zadatak pronalaženja kut između ravnine ili kutova između zrakoplova i ravnih linija.

Tip prema jednadžbi ravnine i koordinate točke normalnog vektora

Različit od nule vektor n, okomito na određenoj razini, naziva normalna (normalno) do unaprijed određene ravnini.

Pretpostavimo da u koordinatnom prostoru (pravokutni koordinatni sustav) Oxyz postaviti:

• točka M koordinata (x, y, z);
• nula vektor n = A * i + B + C * j * K.

Potrebno je izjednačiti avion, koji će se održati putem M okomito na normalan br.

U prostoru smo odabrati bilo proizvoljnog točku i označavaju M (x, y, z). Neka radijusa vektor svake točke M (x, y, z) bude r = X * i + y * j + z * k i radijus vektor od točke M (x, y, z) - r = x * i + y * j + k z *. Točka M pripasti određenoj ravnini kad vektor M okomit na vektor Mn. Pišemo stanje ortogonalnosti pomoću skalarnog produkta:

[M M, n] = 0.

Od M M = R-R, vektor jednadžba ravnine će izgledati ovako:

[R - r, n] = 0.

Ova jednadžba može imati i neki drugi oblik. U tu svrhu, svojstva skalarnog produkta i pretvoriti lijevu stranu jednadžbe. [R - r, n] = [r, n] - [r, n]. Ako [r, n] označen kao S, dobiva se prema sljedećoj jednadžbi: [r, n] - a = 0 ili [D, n] = a, koji izražava konstantnost ispupčenja na normalnog vektora od polumjera-vektora traženih točaka koje pripadaju ravninu.

Sada mogu dobiti u koordinatnom tip snimanja ravnina naš vektor jednadžbe [r - r, n] = 0. Kako r-r = (x-x) * i + (y-il) + j + (Z-Z) + k, i n = A * i + B + C * j * K, imamo:

Ispostavilo se da imamo jednadžba se formira ravninu koja prolazi kroz točku okomit na normalan n:

A * (x-x) + B * (y-y) S * (z-z) = 0.

Tip prema jednadžbi ravnine i koordinata dvije točke na vektor ravnine kolinearna

Mi definirati dvije proizvoljne točke M '(h`, u`, z`) i M (x, y, z), a vektor a (a`, a, a).

Sada možemo napisati jednadžbu unaprijed određeni avion koji prolazi kroz postojeće točke M `i M i M svaku točku s koordinatama (x, y, z) paralelno s određenom vektora.

Time M`M vektori {x-y-h` u`-zz`} i {M = x M - h` -u` y-z -z`} treba biti na istoj ravnini s vektorom a = (a ', a, a), što znači da (M`M, MM, a) = 0.

Tako je naša jednadžba ravnine u prostoru će izgledati ovako:

Video: Predavanje 18: vrste aviona jednadžbu

Vrsta ravnine jednadžbe, prelazeći tri boda

Recimo imamo tri stvari: (h`, u`, z`), (x, y, z), (x, y, z), koji ne pripadaju istoj liniji. Potrebno je napisati jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tri točke navedene. teorija geometrije tvrdi da je ova vrsta avion ne postoji, to je samo jedan i jedini. Budući da je ovaj avion križa točku (h`, u`, z`), oblik njezine jednadžbe je kako slijedi:

Evo, A, B i C su različiti od nule u isto vrijeme. Isto tako s obzirom avion presijeca još dva poena (x, y, z) i (x, y, z). S tim u vezi treba provoditi takvu uvjeta:

Sada možemo stvoriti jedinstven sustav Jednadžbe (linearna) nepoznat u, v, w:

U našem slučaju x, y i z predstavlja proizvoljnu točku koja zadovoljava jednadžbe (1). S obzirom na jednadžbi (1) i sustav jednadžbi (2) i (3) da sustav jednadžbi označene na slici gore, za vektorsku zadovoljava N (A, B, C), koji je svaki bitan. To je zato što je determinanta sustava jednaka nuli.

Jednadžba (1) da smo dobili, to je jednadžba ravnine. 3 točka ona stvarno ide, a to je lako provjeriti. Da biste to učinili, mi proširiti odrednicu od elemenata u prvom redu. Od postojećih svojstva determinante slijedi da je naš avion istovremeno siječe tri prvobitno predviđeno mjesto (h`, u`, z`), (x, y, z), (x, y, z). Tako smo odlučili na zadatak pred nama.

Kut otvaranja između ravnina

Kut otvaranja je prostorni geometrijski oblik nastao od dvije polu-ravninama koje potječu iz ravne crte. Drugim riječima, dio prostora koji je ograničen na pola aviona.

Pretpostavimo da imamo dva aviona sa sljedećim jednadžbama:

Poznato je da je vektor N = (A, B, C) i N¹ '- (A¹-, The¹-, C¹-) u skladu s unaprijed određenim ravninama su okomite. U vezi s ovim kutom &phi- između N i vektori N¹- jednak kut (dihedralnoj), koja se nalazi između tih ravnina. Skalama proizvod je izrazom:

NN¹- = | || N N¹- | cos &phi-,

Video: Video Tutorial "Jednadžba ravnine za tri boda"

upravo zbog

cos&phi- = NN¹- / | || N N¹- | = (AA¹- + BB¹- + SS¹ -) / ((&radic- (A + B + C)) + (&radic- (A¹-) + (B¹-) + (C¹-))).

Dovoljno je uzeti u obzir da je 0&le&phi-&le&pi-.

Zapravo dvije ravnine koje se sijeku, oblik dva kuta (dihedralnoj): &phi-₁ i &phi-₂. Njihov zbroj jednak &pi- (&phi-₁+ &phi-₂= &pi-). Što se tiče njihovih kosinusa, njihove apsolutne vrijednosti su jednake, ali su različiti znakovi, odnosno cos &phi-₁= -cos &phi-₂. Ako u jednadžbi (0) zamijenjen s A, B i C, -A -B i -C odnosno, jednadžbe, dobivamo, odrediti će se u istoj ravnini, jedini kut &phi- u cos jednadžbi &phi- = NN¹/ | || N N¹| To će biti zamijenjen &pi--&phi-.

Jednadžba okomite ravnine

Nazvan okomite ravnine, između kojih je kut 90 stupnjeva. Korištenje materijala prije predstavili, možemo naći jednadžbu ravnine okomite na drugu. Pretpostavimo da su dvije ravnine: Ax + S + Cz + D = 0, a A¹-x + B¹-y + C¹-z + D = 0. Možemo reći da su ortogonalni ako cos&phi- = 0. To znači da je NN¹- = AA¹- + BB¹- + SS¹- = 0.

Jednadžba paralelnom ravnini

To iz dva paralelnim ravninama koje sadrže bodove zajedničko.

stanje paralelnim ravninama (Njihova jednadžbe su isti kao u prethodnom paragrafu) je da su vektori i n¹-, koje su okomite na njih, kolinearni. To znači da se sljedećih uvjeta proporcionalnost:

A / a¹- = I /¹- = C / C¹-.

Video: Video Tutorial "Normalna jednadžba ravnine"

Ako su poboljšani uvjeti razmjernosti - a / a¹- = I /¹- = C / C¹- = DD¹-,

to znači da avion podataka isti. To znači da je jednadžba Ax + By + Cz + D = 0 i A¹-x + B¹-y + C¹-z + D¹- = 0 opisati jednu ravninu.

Udaljenost od točke do ravnine

Pretpostavimo da ima ravnine P, koji je dao (0). Potrebno je pronaći put od točke s koordinatama (x, y, z) = Q. , Morate donijeti jednadžbu u ravnini II uobičajenog izgleda da to čine:

(&rho-, v) = p (p&ge-0).

U tom slučaju, &rho- (x, y, z) je radijus vektor našeg točka Q, koja se nalazi na n-r - n je duljina okomice, koji je izdan od nulte točke, v - je jedinica vektor, koji je postavljen u smjeru s.

razlika &rho--&rho-º- radijus vektor od točke Q = (x, y, z), koji pripadaju n i radijus vektor dane točke Q₀= (X, y, z) je vektor veličina v u kojoj je izbočina je udaljenost d, što je nužno pronaći s Q₀= (X, y, z) u P:

D = | (&rho--&rho-⁰,v) |, ali

(&rho--&rho-⁰,v) = (&rho-, v) - (&rho-⁰,v) = p (&rho-⁰,v).

Tako ispada,

d = | (&rho-⁰,v) p |.

Sada je jasno da je za izračunavanje udaljenosti d od Q₀ na ravnine P, potrebno je koristiti normalne oblik jednadžbe ravnine, pomak na lijevo od p i posljednji mjesto x, y, z zamjena (x, y, z).

Dakle, nalazimo apsolutnu vrijednost je rezultat izraza koje je potrebno d.

Korištenje parametara jeziku, dobili smo što je očito:

d = | Ax + By + Cz | /&radic- (A + B + C).

Ako u određenom trenutku Q₀ Što je na drugoj strani ravnine P kao izvor, a zatim između vektora &rho--&rho-⁰ i v je tupi kut, dakle:

d = - (&rho--&rho-⁰,v) = (&rho-⁰,v) -P>0.

U slučaju kada Q točka₀ zajedno s podrijetlom se nalazi na istoj strani U, zašiljenost se stvara, i to:

d = (&rho--&rho-⁰,v) = p - (&rho-⁰, v)>0.

Rezultat toga je da se u prvom slučaju (&rho-⁰,v)>p, drugi (&rho-⁰,v)<р.

I njegova tangencijalna ravnina jednadžba

Se odnosi na ravninu površine na mjestu tangencije Mº- - je ravnina koja sadrži sve moguće tangentu na krivulju provlači kroz te točke na površini.

Ovaj oblik površine jednadžbe F (x, y, z) = 0 u jednadžbi tangencijalna ravnina tangencijalne točke Mº- (xº- uº- zº-) će izgledati ovako:

F_x(xº- uº- zº -) (x-xº -) + F_x(xº- uº- zº -) (y yº -) + F_x(xº- uº- zº -) (Z-Zº -) = 0.

Ako je površina postavljena izričito z = f (x, y), zatim se tangencijalna ravnina je opisan formulom:

z zº- = f (xº- uº -) (x-xº -) + f (xº- uº -) (y yº-).

Video: Video Tutorial "Opći jednadžba ravnini"

Sjecište dvije ravnine

trodimenzionalni prostor je koordinatni sustav (pravokutni) Oxyz, daje dva P` ravnine P i koji se sijeku ili se podudaraju. Jer bilo ravnini, koja je u pravokutni koordinatni sustav definiran općom jednadžbom, pretpostavljamo da P` i n su dane jednadžbama A`h V`u + S`z + D` = 0 i X + Y + Z B + C D = 0. U ovom slučaju imamo normalnu n` (A`, in`, S`) P` ravnini normalna n (A, B, C) n ravnina. Kao što je naš avion nisu paralelni i ne podudaraju, onda ti vektori nisu kolinearno. Koristeći jezik matematike, mi smo to stanje može se zapisati kao: n`&zanemarivanja n &harr- (A`, in`, S`) &zanemarivanja (&* a lambda-&lambda- * B,&lambda- ° C) &lambda- R. Neka pravac koji se nalazi na raskrižju P` i P bit će označeni slovom A, u ovom slučaju a = P` &dražeja II.

i - linija se sastoji od više točaka (zajedničkog) P` i R aviona. To znači da su koordinate bilo koje točke pripada linije a istovremeno mora zadovoljiti jednadžbu A`h V`u + S`z + D` = 0 i x + y + B + C z D = 0. To znači da su koordinate točke biti će posebno rješenje od sljedećih jednadžbi:

Rezultat toga je da je rješenje (ukupni) ovog sustava jednadžbi će odrediti koordinate svake od točaka na liniji koja će djelovati P` i sjecište P, i definirati pravac u sustavu koordinatnom Oxyz (pravokutni) prostora.