Iracionalni brojevi: što je to i što se koriste?

Što je iracionalan broj? Zašto se zovu? Gdje se koristi, a što čini? Malo mogu bez oklijevanja odgovoriti na ova pitanja. Ali, u stvari, odgovori su vrlo jednostavni, iako ne svi potrebni su iu vrlo rijetkim situacijama,

Suština i oznaka

Iracionalni brojevi su beskrajne ne periodičan decimale. Potreba za uvođenje ovog koncepta proizlazi iz činjenice da je u cilju rješavanja stjecanje novih izazova je bila nedovoljna prethodno postojeći koncepti stvarne ili realnih, cjelovite, prirodne i racionalnih brojeva. Na primjer, da bi se izračunao kvadratni vrijednost je 2, potrebno je koristiti ne-periodične beskonačni decimalni dio je. Osim toga, mnoge jednostavne jednadžbe također nemaju rješenje bez uvođenja pojma iracionalnih brojeva.

Ovaj skup je označeno kao I. A, što je postalo jasno, ove vrijednosti ne mogu biti zastupljeni kao jednostavan frakcije, gdje je brojnik je cijeli broj i nazivnik - prirodni broj.

Po prvi put na ovaj ili onaj način s ovim fenomenom suočio Indijski matematičari u VII stoljeću prije Krista, kada je otkriveno da su kvadratnih korijena određenih količina ne može jasno identificirati. Prvi dokaz postojanja takvih brojeva je zaslužan Pitagorin Hippasus, koji je napravljen u studiju jednakokračnog pravokutnog trokuta. Ozbiljan doprinos proučavanju ovog skupa su donijeli čak i neke znanstvenike koji su živjeli prije Krista. Uvođenje koncepta iracionalan broj doveo do revizije postojećeg matematički sustav, što je razlog zašto su tako važni.

Podrijetlo naziva

Ako je omjer na latinskom - je "šut", "stav", Set-top box "ir"
priključen na riječ suprotno. Dakle, naziv skupa tih brojeva označava da se ne može dovesti u vezu u cijeli broj ili frakcijskom, imaju sjedište. To proizlazi iz njihove prirode.

Stavite u ukupnom redoslijedu

Iracionalni brojevi, uz racionalno odnosi na grupu stvarnog ili virtualnog, koji pak pripadaju kompleksu. Podskupovi, međutim, razlikovati algebarske i transcendentalne naravi, koji će biti više riječi u nastavku.

Video: Što je pravi broj? - bezbotvy

nekretnine

Zbog iracionalnih brojeva - to je dio niza pravi, a zatim se primjenjuju na njih sve svoje osobine koje su proučavane u aritmetici (koji se nazivaju i osnovne algebarske zakona).

a + b = b + a (komutativnosti);

(A + B) + c = a + (b + c) (Asocijativnost);

a + 0 = a;

a + (-a) = 0 (postojanje aditiva obrnuto);

ab = ba (zamjenski pravo);

(Ab) c = a (BC) (Distributivity);

Video: Matematika. iracionalne jednadžbe

A (b + c) = ab + ac (distributivne pravo);

a x = a 1

Video: prljavu igru ​​banke, brokeri, trgovci i novac menadžeri

a x 1 / A-1 (broj inverzija postojanja);

Usporedba je također u skladu s općim zakonima i načelima:

Ako se > b i b > c, a zatim > c (omjer prijenosnost) i. t. d.

Naravno, svi su iracionalni brojevi mogu se pretvoriti pomoću osnovne aritmetičke operacije. Svaka posebna pravila u to.

Osim toga, iracionalan broj pokrivena Arhimeda aksiom. On navodi da za bilo koje dvije vrijednosti A i B je istina da je, uzimajući pojam kao dovoljan broj puta, moguće je pobijediti b.

korištenje

Unatoč činjenici da je u stvarnom životu često ne moraju nositi s njima, iracionalan broj ne daju račun. Oni su mnogo, ali oni su praktički nevidljivi. Okruženi smo iracionalnim brojevima. Primjeri, poznati svima, - broj pi, jednaka 3.1415926 ... ili e, je u suštini osnova prirodnih logaritama, 2.718281828 ... U algebra, trigonometrija i geometrija ih koristiti stalno. Usput, poznata vrijednost "zlatni rez"Odnosno omjer koliko je od visoke do niske i obrnuto, te To se odnosi na ovaj set. manje poznata "srebro" - previše.

Na brojevnoj crti, oni su vrlo blizu, tako da između bilo koje dvije količinama, koje pokriva skupom racionalan, iracionalan nužno dogoditi.

Do sada, postoji puno neriješenih pitanja u vezi s ovom skupu. Postoje kriteriji poput iracionalnosti mjere i normalnosti broja. Matematičari i dalje istraživati ​​najznačajnije primjere za njihove pripadnosti jednoj grupi ili nekom drugom. Na primjer, pretpostavlja se da je e - normalan broj, odnosno, vjerojatnost pojave u njegovom snimanju različitih likova su isti ... Što se tiče pi, onda je relativno dugo pod istragom. Mjera iracionalnost se nazivaju vrijednost, pokazuje kako dobro određeni broj može se aproksimirati racionalnim brojevima.

Algebarski i transcendentalna

Kao što je već spomenuto, iracionalan broj uvjetno podijeliti u algebarske i transcendentalno. Konvencionalno, jer, strogo govoreći, klasifikacija se koristi za podjelu većeg C.

Pod ovom oznakom skriva kompleksnih brojeva, koji uključuju stvarni ili pravi.

Dakle, algebarska naziva vrijednost, koja je korijen polinoma nije identično nula. Na primjer, korijen iz 2 će pasti u ovu kategoriju, jer je rješenje jednadžbe x² - 2 = 0.

Svi ostali realni brojevi koji ne zadovoljavaju ovaj uvjet se zove transcendentalna. Ova vrsta te su najpoznatije i već spomenuti primjeri - broj pi i prirodni logaritam baze npr.

Zanimljivo je da ni jedno ni drugo su izvorno uzgajan matematičara kao takva, njihova iracionalnost i transcendencija je dokazano kroz mnogo godina nakon njihova otkrića. Za pi dokaz je predviđeno u 1882. i pojednostavljenom 1894. godine, koja se okončala raspravu o problemu kvadrature kruga, koji je trajao 2500 godina. To još uvijek nije u potpunosti razumio, tako da moderni matematičari imaju posla. Usput, prvi razumno točna izračun ove vrijednosti je Arhimedovu. Prije njega, svi izračuni bili previše približne.

Za e (Eulerov broj, ili Napier), dokaz o svojoj transcendenciji pronađen je u 1873. To se koristi u rješavanju logaritamske jednadžbe.

Video: neodređeno sastavni

Među ostalim primjerima - sine vrijednosti, kosinus i tangenta za bilo različit od nule algebarskih vrijednosti.